如图，已知抛物线yax2bx6(a≠0)与x轴交于点A(−3

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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挑错有奖

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + 6 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 3, 0)$ 和点 $B (1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求抛物线 $y$ 的函数表达式及点 $C$ 的坐标；

（2）点 $M$ 为坐标平面内一点，若 $MA = MB = MC$ ，求点 $M$ 的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点 $E$ ，使 $4 \tan ∠ ABE = 11 \tan ∠ ACB$ ？若存在，求出满足条件的所有点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树 $A$ 点处测得古树顶端 $D$ 的仰角为 $30 °$ ，然后向古树底端 $C$ 步行20米到达点 $B$ 处，测得古树顶端 $D$ 的仰角为 $45 °$ ，且点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在同一直线上，求古树 $CD$ 的高度．（已知： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果保留整数）

题型：未知
难度：未知

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为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是" $A$ ．书画类、 $B$ ．文艺类、 $C$ ．社会实践类、 $D$ ．体育类"．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：

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（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．

题型：未知
难度：未知

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先化简，再求值： $(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}) \div \frac{x + 2}{x^{2} - 1}$ ，然后从 $- 1$ ，0，1中选择适当的数代入求值．

题型：未知
难度：未知

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如图1，平面直角坐标系 $xOy$ 中，等腰 $ΔABC$ 的底边 $BC$ 在 $x$ 轴上， $BC = 8$ ，顶点 $A$ 在 $y$ 的正半轴上， $OA = 2$ ，一动点 $E$ 从 $(3, 0)$ 出发，以每秒1个单位的速度沿 $CB$ 向左运动，到达 $OB$ 的中点停止．另一动点 $F$ 从点 $C$ 出发，以相同的速度沿 $CB$ 向左运动，到达点 $O$ 停止．已知点 $E$ 、 $F$ 同时出发，以 $EF$ 为边作正方形 $EFGH$ ，使正方形 $EFGH$ 和 $ΔABC$ 在 $BC$ 的同侧，设运动的时间为 $t$ 秒 $(t ⩾ 0)$ ．

（1）当点 $H$ 落在 $AC$ 边上时，求 $t$ 的值；

（2）设正方形 $EFGH$ 与 $ΔABC$ 重叠面积为 $S$ ，请问是否存在 $t$ 值，使得 $S = \frac{91}{36}$ ？若存在，求出 $t$ 值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，取 $AC$ 的中点 $D$ ，连结 $OD$ ，当点 $E$ 、 $F$ 开始运动时，点 $M$ 从点 $O$ 出发，以每秒 $2 \sqrt{5}$ 个单位的速度沿 $OD - DC - CD - DO$ 运动，到达点 $O$ 停止运动．请问在点 $E$ 的整个运动过程中，点 $M$ 可能在正方形 $EFGH$ 内（含边界）吗？如果可能，求出点 $M$ 在正方形 $EFGH$ 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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在平面直角坐标系 $xOy$ 中，关于 $x$ 的二次函数 $y = x^{2} + px + q$ 的图象过点 $(- 1, 0)$ ， $(2, 0)$ ．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）求当 $- 2 ⩽ x ⩽ 1$ 时， $y$ 的最大值与最小值的差；

（3）一次函数 $y = (2 - m) x + 2 - m$ 的图象与二次函数 $y = x^{2} + px + q$ 的图象交点的横坐标分别是 $a$ 和 $b$ ，且 $a < 3 < b$ ，求 $m$ 的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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