对于实数 $a$， $b$，定义符号 $\mathit{min}\{a$， $b\}$，其意义为：当 $a⩾b$时， $\mathit{min}\{a$， $b\}=b$；当 $a<b$时， $\mathit{min}\{a$， $b\}=a$．例如： $\mathit{min}=\{2$， $-1\}=-1$，若关于 $x$的函数 $y=\mathit{min}\{2x-1$， $-x+3\}$，则该函数的最大值为 $($　　 $)$

A． $\frac{2}{3}$B．1C． $\frac{4}{3}$D． $\frac{5}{3}$