如图， $A$， $B$两市相距 $150\mathit{km}$，国家级风景区中心 $C$位于 $A$市北偏东 $60°$方向上，位于 $B$市北偏西 $45°$方向上．已知风景区是以点 $C$为圆心、 $50\mathit{km}$为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接 $A$， $B$两市的高速公路，高速公路 $\mathit{AB}$是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73)$