空间任意选定一点 O ,以点 O 为端点,作三条互相垂直的射线 ox 、 oy 、 oz .这三条互相垂直的射线分别称作 x 轴、 y 轴、 z 轴,统称为坐标轴,它们的方向分别为 ox (水平向前)、 oy (水平向右)、 oz (竖直向上)方向,这样的坐标系称为空间直角坐标系.
将相邻三个面的面积记为 S1 、 S2 、 S3 ,且 S1<S2<S3 的小长方体称为单位长方体,现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放,要求码放时将单位长方体 S1 所在的面与 x 轴垂直, S2 所在的面与 y 轴垂直, S3 所在的面与 z 轴垂直,如图1所示.
若将 x 轴方向表示的量称为几何体码放的排数, y 轴方向表示的量称为几何体码放的列数, z 轴方向表示的量称为几何体码放的层数;如图2是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体,其中这个几何体共码放了1排2列6层,用有序数组记作 (1 ,2, 6) ,如图3的几何体码放了2排3列4层,用有序数组记作 (2 ,3, 4) .这样我们就可用每一个有序数组 (x , y , z) 表示一种几何体的码放方式.
(1)如图4是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图,则这种码放方式的有序数组为 ,组成这个几何体的单位长方体的个数为 个;
(2)对有序数组性质的理解,下列说法正确的是 ;(只填序号)
①每一个有序数组 (x , y , z) 表示一种几何体的码放方式.
②有序数组中 x 、 y 、 z 的乘积就表示几何体中单位长方体的个数.
③有序数组不同,所表示几何体的单位长方体个数不同.
④不同的有序数组所表示的几何体的体积不同.
⑤有序数组中 x 、 y 、 z 每两个乘积的2倍可分别确定几何体表面上 S1 、 S2 、 S3 的个数.
(3)为了进一步探究有序数组 (x , y , z) 的几何体的表面积公式 S(x,y,z) ,某同学针对若干个单位长方体进行码放,制作了下列表格:
几何体 有序数组 |
单位长方体的个数 |
表面上面积为 S1 的个数 |
表面上面积为 S2 的个数 |
表面上面积为 S3 的个数 |
表面积 |
(1 ,1, 1) |
1 |
2 |
2 |
2 |
2S1+2S2+2S3 |
(1 ,2, 1) |
2 |
4 |
2 |
4 |
4S1+2S2+4S3 |
(3 ,1, 1) |
3 |
2 |
6 |
6 |
2S1+6S2+6S3 |
(2 ,1, 2) |
4 |
4 |
8 |
4 |
4S1+8S2+4S3 |
(1 ,5, 1) |
5 |
10 |
2 |
10 |
10S1+2S2+10S3 |
(1 ,2, 3) |
6 |
12 |
6 |
4 |
12S1+6S2+4S3 |
(1 ,1, 7) |
7 |
14 |
14 |
2 |
14S1+14S2+2S3 |
(2 ,2, 2) |
8 |
8 |
8 |
8 |
8S1+8S2+8S3 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
根据以上规律,请写出有序数组 (x , y , z) 的几何体表面积计算公式 S(x,y,z) ;(用 x 、 y 、 z 、 S1 、 S2 、 S3 表示)
(4)当 S1=2 , S2=3 , S3=4 时,对由12个单位长方体码放的几何体进行打包,为了节约外包装材料,对12个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究,根据探究的结果请写出使几何体表面积最小的有序数组,并用几何体表面积公式求出这个最小面积.(缝隙不计)