如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\mathit{AD}=2$， $\mathit{AB}=2\sqrt{2}$，以点 $A$为圆心， $\mathit{AD}$为半径的圆与 $\mathit{BC}$相切于点 $E$，交 $\mathit{AB}$于点 $F$

（1）求 $\angle \mathit{ABE}$的大小及 $\stackrel{̂}{\mathit{DEF}}$的长度；

（2）在 $\mathit{BE}$的延长线上取一点 $G$，使得 $\stackrel{̂}{\mathit{DE}}$上的一个动点 $P$到点 $G$的最短距离为 $2\sqrt{2}-2$，求 $\mathit{BG}$的长．