如图1所示，在ΔABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与A

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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挑错有奖

如图1所示，在 $ΔABC$ 中，点 $O$ 是 $AC$ 上一点，过点 $O$ 的直线与 $AB$ ， $BC$ 的延长线分别相交于点 $M$ ， $N$ ．

【问题引入】

（1）若点 $O$ 是 $AC$ 的中点， $\frac{AM}{BM} = \frac{1}{3}$ ，求 $\frac{CN}{BN}$ 的值；

温馨提示：过点 $A$ 作 $MN$ 的平行线交 $BN$ 的延长线于点 $G$ ．

【探索研究】

（2）若点 $O$ 是 $AC$ 上任意一点（不与 $A$ ， $C$ 重合），求证： $\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CO}{OA} = 1$ ；

【拓展应用】

（3）如图2所示，点 $P$ 是 $ΔABC$ 内任意一点，射线 $AP$ ， $BP$ ， $CP$ 分别交 $BC$ ， $AC$ ， $AB$ 于点 $D$ ， $E$ ， $F$ ，若 $\frac{AF}{BF} = \frac{1}{3}$ ， $\frac{BD}{CD} = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{AE}{CE}$ 的值．

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如图中图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）：
在图（1）中，将线段A₁A₂向右平移1个单位长度到B₁B₂，得到封闭图形A₁A₂B₂B₁（即阴影部分）；在图（2）中，将折线A₁A₂A₃向右平移1个单位长度到B₁B₂B₃，得到封闭图形A₁A₂A₃B₃B₂B₁（即阴影部分）．
（1）在图（3）中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并画上阴影；
（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影剩余部分的面积：S₁＝________，S₂＝________，S₃＝________；
（3）联想探索如图（4），在一长方形草地上，有条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分的草地面积是多少，并证明你的猜想．