如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，BE平分∠A

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，BE平分∠ABC交AD于点E，点O在AB上，以OB为半径的⊙O经过点E，交AB于点F

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若AC＝4，∠C＝30°，求 $\hat{EF}$ 的长．

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如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ D A B ＝ 30 °$ ．

（1）实践与操作：用尺规作图法过点 $D$ 作 $A B$ 边上的高 $D E$ ；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）应用与计算：在（1）的条件下， $A D ＝ 4 ， A B ＝ 6$ ，求 $B E$ 的长．

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如图，在锐角△ABC中， $∠ A ＝ 60 °$ ，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．

（1）如图1，若 $A B ＞ A C$ ，且 $B D ＝ C E$ ， $∠ B C D ＝ ∠ C B E$ ，求 $∠ C F E$ 的度数；

（2）如图2，若 $A B ＝ A C$ ，且 $B D ＝ A E$ ，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）若 $A B ＝ A C$ ，且 $B D ＝ A E$ ，将 $△ A B C$ 沿直线AB翻折至 $△ A B C$ 所在平面内得到 $△ A B P$ ，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将 $△ P H K$ 沿直线HK翻折至 $△ P H K$ 所在平面内得到 $△ Q H K$ ，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且 $Q K ⊥ P F$ 时，请直接写出 $\frac{PQ}{BC}$ 的值．

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