如图，已知 是 的直径， 为 上（异于 、 一点， 的切线 与 的延长线交于点 ； 为 上一点， 的延长线交 于点 ， 为 上一点且 ， 的延长线交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 、 的长是一元二次方程 的两根，求 的长；
（3）若 ， ，求 的长．
小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底 处出发，向前走3米到达 处，测得树顶端 的仰角为 ，他又继续走下台阶到达 处，测得树的顶端 的仰角是 ，再继续向前走到大树底 处，测得食堂楼顶 的仰角为 ．已知点离地面的高度 米， ，且 、 、 三点在同一直线上．
（1）求树 的高度；
（2）求食堂 的高度．
关于 的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求实数 的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为 、 ，存不存在这样的实数 ，使得 ？若存在，求出这样的 值；若不存在，说明理由．
学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．
在相距150个单位长度的直线跑道 上，机器人甲从端点 出发，匀速往返于端点 、 之间，机器人乙同时从端点 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点 、 之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
（观察）
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度；
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度；
（发现）
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度．兴趣小组成员发现了 与 的函数关系，并画出了部分函数图象（线段 ，不包括点 ，如图2所示）．
① ；
②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；
（拓展）
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度．
若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离 不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离 的取值范围是 ．（直接写出结果）
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