为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地 和人工智能科技馆 参观学习如图，学校在点 处， 位于学校的东北方向， 位于学校南偏东 方向， 在 的南偏西 方向 处．学生分成两组，第一组前往 地，第二组前往 地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是 ，第二组乘公交车，速度是 ，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
如图，四边形 中， ，点 、 分别在 、 上， ，过点 、 分别作 的垂线，垂足为 、 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，线段 与 是否互相平分？请说明理由．
如图，已知等边 的边长为8，点 是 边上的一个动点（与点 、 不重合）．直线 是经过点 的一条直线，把 沿直线 折叠，点 的对应点是点 ．
（1）如图1，当 时，若点 恰好在 边上，则 的长度为 ；
（2）如图2，当 时，若直线 ，则 的长度为 ；
（3）如图3，点 在 边上运动过程中，若直线 始终垂直于 ， 的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当 时，在直线 变化过程中，求 面积的最大值．
如图，四边形 是矩形， ， ，以 为一边向矩形外部作等腰直角 ， ．点 在线段 上，且 ，点 沿折线 运动，点 沿折线 运动（与点 不重合），在运动过程中始终保持线段 ．设 与 之间的距离为 ．
（1）若 ．
①如图1，当点 在线段 上时，若四边形 的面积为48，则 的值为 ；
②在运动过程中，求四边形 的最大面积；
（2）如图2，若点 在线段 上时，要使四边形 的面积始终不小于50，求 的取值范围．
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