如图①，正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $E$ 是 $\mathit{OD}$ 的中点．动点 $P$ 从点 $E$ 出发，沿着 $E\to O\to B\to A$ 的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点 $A$ ，在此过程中线段 $\mathit{AP}$ 的长度 $y$ 随着运动时间 $x$ 的函数关系如图②所示，则 $\mathit{AB}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

$4\sqrt{2}$

B．

4

C．

$3\sqrt{3}$

D．

$2\sqrt{2}$