如图，点$E$、$F$、$G$、$H$分别在矩形$\mathit{ABCD}$的边$\mathit{AB}$、$\mathit{BC}$、$\mathit{CD}$、$\mathit{DA}$（不包括端点）上运动，且满足$\mathit{AE}=\mathit{CG}$，$\mathit{AH}=\mathit{CF}$．

（1）求证：$\mathit{\Delta AEH}\cong \mathit{\Delta CGF}$；

（2）试判断四边形$\mathit{EFGH}$的形状，并说明理由．

（3）请探究四边形$\mathit{EFGH}$的周长一半与矩形$\mathit{ABCD}$一条对角线长的大小关系，并说明理由．