如图， $\odot O$ 的半径为2，双曲线的解析式分别为 $y=\frac{1}{x}和y=-\frac{1}{x}$ ，则阴影部分的面积是 $($ 　　 $)$

A．

$4\pi$

B．

$3\pi$

C．

$2\pi$

D．

$\pi$