如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{AD}=2$ ， $E$ 为 $\mathit{AB}$ 的中点， $F$ 为 $\mathit{EC}$ 上一动点， $P$ 为 $\mathit{DF}$ 中点，连接 $\mathit{PB}$ ，则 $\mathit{PB}$ 的最小值是 $($ 　　 $)$

A．

2

B．

4

C．

$\sqrt{2}$

D．

$2\sqrt{2}$