如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ， $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$ ， $\mathit{BC}=2$ ，以 $\mathit{AB}$ 的中点 $O$ 为圆心， $\mathit{OA}$ 的长为半径作半圆交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ，则图中阴影部分的面积为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{5\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi }{2}$

B．

$\frac{5\sqrt{3}}{4}+\frac{\pi }{2}$

C．

$2\sqrt{3}-\pi$

D．

$4\sqrt{3}-\frac{\pi }{2}$