如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ， $\odot O$ 的半径为2，以点 $A$ 为圆心，以 $\mathit{AC}$ 长为半径画弧交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $E$ ，交 $\mathit{AD}$ 的延长线于点 $F$ ，则图中阴影部分的面积为 $($ 　　 $)$

A．

$4\pi -4$

B．

$4\pi -8$

C．

$8\pi -4$

D．

$8\pi -8$