在同一直角坐标系中，抛物线$C_1:y=a{x}^2-2x-3$与抛物线$C_2:y=x^2+\mathit{mx}+n$关于$y$轴对称，$C_2$与$x$轴交于$A$、$B$两点，其中点$A$在点$B$的左侧．

（1）求抛物线$C_1$，$C_2$的函数表达式；

（2）求$A$、$B$两点的坐标；

（3）在抛物线$C_1$上是否存在一点$P$，在抛物线$C_2$上是否存在一点$Q$，使得以$\mathit{AB}$为边，且以$A$、$B$、$P$、$Q$四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出$P$、$Q$两点的坐标；若不存在，请说明理由．