某课题小组研究如下的几个问题．（1）边长为1的等边三角形从图_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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某课题小组研究如下的几个问题．
（1）边长为1的等边三角形从图1位置开始沿直线顺时针无滑动地向右滚动一周，求点P运动的路径长（直接列式计算）；
（2）边长为1的正方形从图2位置开始沿直线顺时针无滑动地向右滚动，当正方形滚动一周时，求点P运动的路经长（直接列式计算）．
（3）请你将（1）（2）中的正多边形化成一个边长为1，边数大于4的正多边形，按（1）（2）的方式滚动一周，求其任意一个顶点运动的路径长（请写出你选的图形的名称，直接写出结果）

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如图， $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：

①以点 $C$ 为圆心，以 $CB$ 为半径画弧，交 $AB$ 于点 $G$ ；分别以点 $G$ 、 $B$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} GB$ 的长为半径画弧，两弧交点 $K$ ，作射线 $CK$ ；

②以点 $B$ 为圆心，以适当的长为半径画弧，交 $BC$ 于点 $M$ ，交 $AB$ 的延长线于点 $N$ ；分别以点 $M$ 、 $N$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} MN$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，作直线 $BP$ 交 $AC$ 的延长线于点 $D$ ，交射线 $CK$ 于点 $E$ ．

请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；

（1）线段 $CD$ 与 $CE$ 的大小关系是　　；

（2）过点 $D$ 作 $DF ⊥ AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $F$ ，若 $AC = 12$ ， $BC = 5$ ，求 $\tan ∠ DBF$ 的值．

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一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字 $- 2$ ， $- 1$ ，0，1，它们除了数字不同外，其它完全相同．

（1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是　　．

（2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点 $M$ 的横坐标；然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点 $M$ 的纵坐标．如图，已知四边形 $ABCD$ 的四个顶点的坐标分别为 $A (- 2, 0)$ ， $B (0, - 2)$ ， $C (1, 0)$ ， $D (0, 1)$ ，请用画树状图或列表法，求点 $M$ 落在四边形 $ABCD$ 所围成的部分内（含边界）的概率．

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如图，已知 $∠ C = ∠ D = 90 °$ ， $BC$ 与 $AD$ 交于点 $E$ ， $AC = BD$ ，求证： $AE = BE$ ．

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计算： $| \sqrt{3} - 1 | - 2 \sin 60 ° + {(\frac{1}{6})}^{- 1} + \sqrt[3]{- 27}$ ．

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如图，在直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $B$ ，点 $C$ ，对称轴为 $x = 1$ 的抛物线过 $B$ ， $C$ 两点，且交 $x$ 轴于另一点 $A$ ，连接 $AC$ ．

（1）直接写出点 $A$ ，点 $B$ ，点 $C$ 的坐标和抛物线的解析式；

（2）已知点 $P$ 为第一象限内抛物线上一点，当点 $P$ 到直线 $BC$ 的距离最大时，求点 $P$ 的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点 $Q$ （点 $C$ 除外），使以点 $Q$ ， $A$ ， $B$ 为顶点的三角形与 $ΔABC$ 相似？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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