已知函数．（1）讨论的单调性；（2）设，当时，，求的最大值；

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，当时，，求的最大值；
（3）已知，估计的近似值（精确到）．

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在 $∆ A B C$ 中,已知 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C} = 3 \overset{⇀}{B A} \cdot \overset{⇀}{B C}$ ．
（1）求证: $\tan B = 3 \tan A$ ；
（2）若 $\cos C = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ,求 $A$ 的值．

题型：未知
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在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $\cos A = \frac{2}{3}$ ， $\sin B = \sqrt{5} \cos C$ ．
(1)求 $\tan C$ 的值；
(2)若 $a = \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

题型：未知
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已知 $a > 0, b \in R$ ,函数 $f (x) = 4 a x^{3} - 2 b x - a + b$ ．
(Ⅰ)证明:当 $0 \leq x \leq 1$ 时，
(ⅰ)函数 $f (x)$ 的最大值为 $| 2 a - b | + a$ ；

(ⅱ) $f (x) + |2 a - b| + a ⩾ 0$ ；
(Ⅱ) 若 $- 1 \leq f (x) \leq 1$ 对 $x \in$ [0,1]恒成立,求 $a ＋ b$ 的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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如图，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，其左焦点到点 $P (2, 1)$ 的距离为 $\sqrt{10}$ ．不过原点 $O$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，且线段 $A B$ 被直线 $O P$ 平分．

(Ⅰ)求椭圆 $C$ 的方程；
(Ⅱ) 求 $∆ A B P$ 的面积取最大时直线 $l$ 的方程．

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如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的菱形，且 $∠ B A D ＝ 120 °$ ，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ＝ 2 \sqrt{6}$ ， $M, N$ 分别为 $P B, P D$ 的中点．

(1)证明： $M N ∥$ 平面 $A B C D$ ；
(2) 过点 $A$ 作 $A Q ⊥ P C$ ，垂足为点 $Q$ ，求二面角 $A - M N - Q$ 的平面角的余弦值．

题型：未知
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