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折纸与证明
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（图27－1），怎样证明∠C＞
∠B呢？
把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以，点C落在AB上的点C’处（图27－2）．于是，由∠AC’D＞∠B，可得∠C＞∠B．
在△ABC中，∠B=2∠C，点D为线段BC上一动点，当AD满足某种条件时，探讨在线段AB、BD、CD、AC四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系．
（1）如图3，当AD⊥BC时，求证：AB+BD=DC；
（2）如图4，当AD是∠BAC的角平分线时，写出AB、BD、AC的数量关系，并证明．
如图1，平面直角坐标系
中，点
，
，
，点
为射线
上一动点，连结
，交
轴于点
，⊙
是△
的外接圆，过点的切线交
轴于点
．
（1）判断△
的形状；
（2）当点在线段上时，
①证明：△
∽△
；
②如图2，⊙与轴的另一交点为
，连结
、
，当四边形
为矩形时，求
；
（3）点在射线运动过程中，若
，求
的值．
如图1，对于平面上不大于
的
，我们给出如下定义：若点P在 的内部或边界上，作
于点E，
于点
，则称
为点P相对于的“点角距离”，记为
．
如图2，在平面直角坐标系xOy中，对于
，点P为第一象限内或两条坐标轴正半轴上的动点，且满足
5，点P运动形成的图形记为图形G．
（1）满足条件的其中一个点P的坐标是 __，图形G与坐标轴围成图形的面积等于 __；
（2）设图形G与x轴的公共点为点A，如图3，已知
，
，求
的值；
（3）如果抛物线
经过（2）中的A，B两点，点Q在A，B两点之间的物线上（点Q可与A，B两点重合），求当
取最大值时，点Q 的坐标．
（本题10分） 在“全民阅读”活动中，某中学社团读书社对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，2014年全校学生人数比2013年增加100人．
（1）求2014年全校学生人数；
（2）2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本。
（注：阅读总量=人均阅读量×人数）
①求2012年全校学生人均阅读量；
②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2．5倍，如果2013年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．
（本题10分） 已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．
（1）求证：△ABE ≌△BCF
（2）求△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；
（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问DF与CE′ 相等吗？请说明理由。
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