某校高二某班的一次数学测试成绩(满分为分)的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题: (1)求分数在的频率及全班人数; (2)求分数在之间的频数,并计算频率分布直方图中间的矩形的高; (3)若要从分数在 之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中,求至少有一份分数在之间的概率.
(本小题满分13分) 已知函数,. (Ⅰ)求的极值; (Ⅱ)若在上恒成立,求的取值范围.
(本小题满分12分) 在如图所示的几何体中,平面,∥,是的中点,,,. (Ⅰ)证明平面; (Ⅱ)求二面角的余弦值. 图7
(本小题满分12分) 某校在招收体育特长生时,须对报名学生进行三个项目的测试.规定三项都合格者才能录取.假定每项测试相互独立,学生各项测试合格的概率组成一个公差为的等差数列,且第一项测试不合格的概率超过,第一项测试不合格但第二项测试合格的概率为. (Ⅰ)求学生被录取的概率; (Ⅱ)求学生测试合格的项数的分布列和数学期望.
(本小题满分12分) 已知向量,函数.求: (Ⅰ)函数的最小值; (Ⅱ)函数的单调递增区间.
(本小题共14分) 已知椭圆的焦点是,,点在椭圆上且满足. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设直线与椭圆的交点为,. (i)求使的面积为的点的个数; (ii)设为椭圆上任一点,为坐标原点,,求的值.