．如图，抛物线 的对称轴是直线 ，与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ，点 为抛物线上的一个动点，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点 在第一象限内，当 时，求四边形 的面积；
（3）在（2）的条件下，若点 为直线 上一点，点 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点 和点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】
在四边形 中，点 为 边上的一点，点 为对角线 上的一点，且 ．
（1）若四边形 为正方形．
①如图1，请直接写出 与 的数量关系 ；
②将 绕点 逆时针旋转到图2所示的位置，连接 ， ，猜想 与 的数量关系并说明理由；
（2）如图3，若四边形 为矩形， ，其它条件都不变，将 绕点 顺时针旋转 得到△ ，连接 ， ，请在图3中画出草图，并直接写出 与 的数量关系．
夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10天内（含10天）完成任务．为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调，平均每台成本就增加20元．
（1）设第 天生产空调 台，直接写出 与 之间的函数解析式，并写出自变量 的取值范围．
（2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2000元，订购价格为每台2920元，设第 天的利润为 元，试求 与 之间的函数解析式，并求工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少．
如图，点 在以 为直径的 上，点 是 的中点，过点 作 垂直于 ，交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
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