如图所示，在
中，BP和CP是角平分线，两线交于点P，试探求下列各图中∠
与∠
之间的关系，并选择一个加以证明．
（1）图1中∠与∠之间的关系: ；
（2）图1中∠与∠之间的关系: ；
（3）图1中∠与∠之间的关系: ．
如图，抛物线 经过 ， 两点，与 轴交于点 ，连接 ．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，直线 经过点 ，点 为直线 上的一个动点，且位于 轴的上方，点 为抛物线上的一个动点，当 轴时，作 ，交抛物线于点 （点 在点 的右侧），以 ， 为邻边构造矩形 ，求该矩形周长的最小值；
（3）如图3，设抛物线的顶点为 ，在（2）的条件下，当矩形 的周长取最小值时，抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，在 中， ， ，点 为 的中点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，且 交线段 于点 ， 的平分线 交 于点 ．
（1）如图1，若 ，则线段 与 的数量关系是 ， ；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点 作 交 于点 ，连接 ， ．
①试判断四边形 的形状，并说明理由；
②求证： ；
（3）如图3，若 ， ，过点 作 交 于点 ，连接 ， ，请直接写出 的值（用含 的式子表示）．
某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高 ，坡面 的坡度 （注：坡度 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点 、 与河岸 、 在同一水平线上，从山顶 处测得河岸 和对岸 的俯角分别为 ， ．
（1）求山脚 到河岸 的距离；
（2）若在此处建桥，试求河宽 的长度．（结果精确到
（参考数据： ， ，
星期天，小明与妈妈到离家 的洞庭湖博物馆参观．小明从家骑自行车先走， 后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达．已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4倍，求妈妈开车的平均速度．
国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间 （单位： 进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
组别 |
睡眠时间分组 |
频数 |
频率 |
|
|
4 |
0.08 |
|
|
8 |
0.16 |
|
|
10 |
|
|
|
21 |
0.42 |
|
|
|
0.14 |
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中， ， ；
（2）扇形统计图中， 组所在扇形的圆心角的度数是 ；
（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；
（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
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