如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由B沿棱柱侧面经过棱CC₁到点A₁的最短路线长为2，设这条最短路线与交于点D．

（1）求三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的棱长；
（2）求四棱锥A₁﹣BCC₁B₁的体积；
（3）在平面A₁BD内是否存在过点D的直线与平面ABC平行？并说明理由．