计算:(1); (2).
如图,动点 M 与两定点 A - 1 , 0 、 B 1 , 0 构成 △ M A B ,且直线 M A , M B 的斜率之积为4,设动点 M 的轨迹为 C 。
(Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y = x + m m > 0 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交于点 Q , R ,且 P Q < P R ,求 P R P Q 的取值范围。
已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ,常数 λ > 0 ,且 λ a 1 a n = S 1 + S n 对一切正整数 n 都成立. (Ⅰ)求数列 a n 的通项公式; (Ⅱ)设 a 1 > 0 , λ = 100 ,当 n 为何值时,数列 l g 1 a n 的前 n 项和最大?
如图,在三棱锥 P - A B C 中, ∠ A P B = 90 ° , ∠ P A B = 60 ° , A B = B C = C A ,点 P 在平面 A B C 内的射影 O 在 A B 上。
(Ⅰ)求直线 P C 与平面 A B C 所成的角的大小; (Ⅱ)求二面角 B - A P - C 的大小。
已知函数 f ( x ) = cos 2 x 2 - sin x 2 cos x 2 - 1 2 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 f ( a ) = 3 2 10 ,求 sin 2 a 的值.
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和 B ,系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为 1 10 和 P 。 (Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 49 50 ,求的 P 值;
(Ⅱ)求系统 A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。