已知函数.（1）试求在区间上的最大值;（2）若函数在区间上单

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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已知函数.
（1）试求在区间上的最大值;
（2）若函数在区间上单调递增，试求m的取值范围.

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如图，已知曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ ，曲线 $C_{2} : |y| = |x + 1|$ ， $P$ 是平面上一点，若存在过点 $P$ 的直线与 $C_{1}, C_{2}$ 都有公共点，则称 $P$ 为" $C_{1} - C_{2}$ 型点"．

(1)在正确证明 $C_{1}$ 的左焦点是" $C_{1} - C_{2}$ 型点"时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
(2)设直线 $y = k x$ 与 $C_{2}$ 有公共点，求证 $|k| > 1$ ，进而证明原点不是" $C_{1} - C_{2}$ 型点"；
(3)求证：圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 内的点都不是" $C_{1} - C_{2}$ 型点"．

题型：未知
难度：未知

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已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x)$ ，其中常数 $ω > 0$ ；
（1）若 $y = f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}]$ 上单调递增，求 $ω$ 的取值范围；
（2）令 $ω = 2$ ，将函数 $y = f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再向上平移1个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图像，区间 $[a, b]$ （ $a, b \in R$ 且 $a < b$ ）满足： $y = g (x)$ 在 $[a, b]$ 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的 $[a, b]$ 中，求 $b - a$ 的最小值．

题型：未知
难度：未知

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甲厂以 $x$ 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求 $1 \leq x \leq 10$ ），每小时可获得利润是 $100 (5 x + 1 - \frac{3}{x})$ 元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求 $x$ 的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

题型：未知
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如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ , $A D = 1$ , $A_{1} A = 1$ ，证明直线 $B C_{1}$ 平行于平面 $D A_{1} C$ ，并求直线 $B C_{1}$ 到平面 $D_{1} A C$ 的距离.

题型：未知
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给定常数 $c > 0$ ,定义函数 $f (x) = 2 |x + c + 4| - |x + c|$ ,数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ 满足 $a_{n + 1} = f (a_{n}), n \in N^{*}$ .
（1）若 $a_{1} = - c - 2$ ,求 $a_{2}$ 及 $a_{3}$ ；
（2）求证:对任意 $n \in N^{*}, a_{n + 1} - a_{n} \geq c$ ；
（3）是否存在 $a_{1}$ ,使得 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots$ 成等差数列？若存在,求出所有这样的 $a_{1}$ ,若不存在,说明理由.

题型：未知
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