（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上一动点，求线段的中点的轨迹方程；
（3）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，   
且，探究：直线是否过定点，并说明理由.