(·湖北襄阳,19题)如图,已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点A(1,4)和点B(n,).(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)当一次函数的值小于反比例函数的值时,直接写出x的取值范围.
在平面直角坐标系xOy中,已知点 M ( a , b ) ,N.
对于点P给出如下定义:将点P向右 ( a ≥ 0 ) 或向左 ( a < 0 ) 平移 | a | 个单位长度,再向上 ( b ≥ 0 ) 或向下 ( b < 0 ) 平移 | b | 个单位长度,得到点P′,点P′关于点N的对称点为Q,称点Q为点P的“对应点”.
(1)如图,点 M ( 1 , 1 ) ,点N在线段OM的延长线上.若点 P ( ﹣ 2 , 0 ) ,点Q为点P的“对应点”.
①在图中画出点Q;
②连接PQ,交线段ON于点T,求证: N T = 1 2 O M ;
(2)⊙O的半径为 1 ,M是⊙O上一点,点N在线段OM上,且 O N = t ( 1 2 < t < 1 ) ,若P为⊙O外一点,点Q为点P的“对应点”,连接PQ.当点M在⊙O上运动时,直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含t的式子表示).
在△ABC中, ∠ A C B = 90 ° ,D为△ABC内一点,连接BD,DC,延长DC到点E,使得 C E = D C .
(1)如图1,延长BC到点F,使得 C F = B C ,连接AF,EF.若 A F ⊥ E F ,求证: B D ⊥ A F ;
(2)连接AE,交BD的延长线于点H,连接CH,依题意补全图2.若 A B 2 = A E 2 + B D 2 ,用等式表示线段CD与CH的数量关系,并证明.
在平面直角坐标系 x O y 中,点 ( 1 , m ) , ( 3 , n ) 在抛物线 y = a x 2 + b x + c ( a > 0 ) 上,设抛物线的对称轴为直线 x = t .
(1)当 c = 2 , m = n 时,求抛物线与 y 轴交点的坐标及 t 的值;
(2)点 ( x 0 , m ) ( x 0 ≠ 1 ) 在抛物线上.若 m < n < c ,求 t 的取值范围及 x 0 的取值范围.
单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一,举办场地为首钢滑雪大跳台.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系,从起跳到着陆的过程中,运动员的竖直高度 y (单位: m )与水平距离 x (单位: m )近似满足函数关系 y = a ( x ﹣ h ) 2 + k ( a < 0 ) .
某运动员进行了两次训练.
(1)第一次训练时,该运动员的水平距离 x 与竖直高度 y 的几组数据如下:
水平距离 x / m
0
2
5
8
11
14
竖直高度 y / m
20 . 00
21 . 40
22 . 75
23 . 20
根据上述数据,直接写出该运动员竖直高度的最大值,并求出满足的函数关系 y = a ( x ﹣ h ) 2 + k ( a < 0 ) ;
(2)第二次训练时,该运动员的竖直高度 y 与水平距离 x 近似满足函数关系 y = ﹣ 0 . 04 ( x ﹣ 9 ) 2 + 23 . 24 .记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为 d 1 ,第二次训练的着陆点的水平距离为 d 2 ,则 d 1 _____ d 2 (填“>”“=”或“<”).
如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的一条弦, A B ⊥ C D ,连接AC,OD.
(1)求证: ∠ B O D = 2 ∠ A ;
(2)连接DB,过点C作 C E ⊥ D B ,交DB的延长线于点E,延长DO,交AC于点F.若F为AC的中点,求证:直线CE为⊙O的切线.