（本小题满分10分）如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分10分）
如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m。

（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

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在平面直角坐标系中，的半径为1，，为外两点，．

给出如下定义：平移线段，得到的弦，分别为点，的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．

（1）如图，平移线段得到的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是　　；在点，，，中，连接点与点　　的线段的长度等于线段到的“平移距离”；

（2）若点，都在直线上，记线段到的“平移距离”为，求的最小值；

（3）若点的坐标为，记线段到的“平移距离”为，直接写出的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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在中，，，是的中点．为直线上一动点，连接．过点作，交直线于点，连接．

（1）如图1，当是线段的中点时，设，，求的长（用含，的式子表示）；

（2）当点在线段的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

题型：未知
难度：未知

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在平面直角坐标系中，，，，为抛物线上任意两点，其中．

（1）若抛物线的对称轴为，当，为何值时，；

（2）设抛物线的对称轴为，若对于，都有，求的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：

．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：

．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：

时段	1日至10日	11日至20日	21日至30日
平均数	100	170	250

（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为　173　（结果取整数）；

（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的　　倍（结果保留小数点后一位）；

（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为．直接写出，，的大小关系．

题型：未知
难度：未知

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小云在学习过程中遇到一个函数 $y = \frac{1}{6} | x | (x^{2} - x + 1) (x ⩾ - 2)$ ．

下面是小云对其探究的过程，请补充完整：

（1）当 $- 2 ⩽ x < 0$ 时，对于函数 $y_{1} = | x |$ ，即 $y_{1} = - x$ ，当 $- 2 ⩽ x < 0$ 时， $y_{1}$ 随 $x$ 的增大而　　，且 $y_{1} > 0$ ；对于函数 $y_{2} = x^{2} - x + 1$ ，当 $- 2 ⩽ x < 0$ 时， $y_{2}$ 随 $x$ 的增大而　　，且 $y_{2} > 0$ ；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数 $y$ ，当 $- 2 ⩽ x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而　　．

（2）当 $x ⩾ 0$ 时，对于函数 $y$ ，当 $x ⩾ 0$ 时， $y$ 与 $x$ 的几组对应值如下表：

$x$	0	$\frac{1}{2}$	1	$\frac{3}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	3	$\dots$
$y$	0	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{7}{16}$	1	$\frac{95}{48}$	$\frac{7}{2}$	$\dots$

结合上表，进一步探究发现，当 $x ⩾ 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大．在平面直角坐标系 $xOy$ 中，画出当 $x ⩾ 0$ 时的函数 $y$ 的图象．

（3）过点 $(0$ ， $m) (m > 0)$ 作平行于 $x$ 轴的直线 $l$ ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线 $l$ 与函数 $y = \frac{1}{6} | x | (x^{2} - x + 1) (x ⩾ - 2)$ 的图象有两个交点，则 $m$ 的最大值是　　．

题型：未知
难度：未知

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