如图所示,在△中,,,将 绕点 沿逆时针方向旋转得到. (1)线段的长是 ,的度数是 ; (2)连接,求证:四边形是平行四边形.
如图,抛物线 y = a x 2 + bx ( a < 0 ) 过点 E ( 10 , 0 ) ,矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上(点 A 在点 B 的左边),点 C , D 在抛物线上.设 A ( t , 0 ) ,当 t = 2 时, AD = 4 .
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的周长有最大值?最大值是多少?
(3)保持 t = 2 时的矩形 ABCD 不动,向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 G , H ,且直线 GH 平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.
如图,在 Rt Δ ABC 中,点 O 在斜边 AB 上,以 O 为圆心, OB 为半径作圆,分别与 BC , AB 相交于点 D , E ,连接 AD .已知 ∠ CAD = ∠ B .
(1)求证: AD 是 ⊙ O 的切线.
(2)若 BC = 8 , tan B = 1 2 ,求 ⊙ O 的半径.
为了解朝阳社区 20 ~ 60 岁居民最喜欢的支付方式,某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查(每人只能选择其中一项),并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图.请根据图中信息解答下列问题:
(1)求参与问卷调查的总人数.
(2)补全条形统计图.
(3)该社区中 20 ~ 60 岁的居民约8000人,估算这些人中最喜欢微信支付方式的人数.
已知, ΔABC 中, ∠ B = ∠ C , P 是 BC 边上一点,作 ∠ CPE = ∠ BPF ,分别交边 AC , AB 于点 E , F .
(1)若 ∠ CPE = ∠ C (如图 1 ) ,求证: PE + PF = AB .
(2)若 ∠ CPE ≠ ∠ C ,过点 B 作 ∠ CBD = ∠ CPE ,交 CA (或 CA 的延长线)于点 D .试猜想:线段 PE , PF 和 BD 之间的数量关系,并就 ∠ CPE > ∠ C 情形(如图 2 ) 说明理由.
(3)若点 F 与 A 重合(如图 3 ) , ∠ C = 27 ° ,且 PA = AE .
①求 ∠ CPE 的度数;
②设 PB = a , PA = b , AB = c ,试证明: b = a 2 − c 2 c .
我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”.
(1)概念理解:
如图1,在 ΔABC 中, AC = 6 , BC = 3 , ∠ ACB = 30 ° ,试判断 ΔABC 是否是”等高底”三角形,请说明理由.
(2)问题探究:
如图2, ΔABC 是“等高底”三角形, BC 是”等底”,作 ΔABC 关于 BC 所在直线的对称图形得到△ A ' BC ,连接 AA ' 交直线 BC 于点 D .若点 B 是△ AA ' C 的重心,求 AC BC 的值.
(3)应用拓展:
如图3,已知 l 1 / / l 2 , l 1 与 l 2 之间的距离为2.“等高底” ΔABC 的“等底” BC 在直线 l 1 上,点 A 在直线 l 2 上,有一边的长是 BC 的 2 倍.将 ΔABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45 ° 得到△ A ' B ' C , A ' C 所在直线交 l 2 于点 D .求 CD 的值.