（本小题12分）设函数，其中。（1）当时，判断函数在定义域上

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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（本小题12分）设函数，其中。
（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（2）当时，求函数的极值点；
（3）证明:对任意的正整数，不等式都成立．

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已知向量 $a = (\cos x, - \frac{1}{2}), b = (\sqrt{3} \sin x, \cos 2 x), x \in R$ , 设函数 $f (x) = a \cdot b$ .
(Ⅰ) 求 $f (x)$ 的最小正周期.
(Ⅱ) 求 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值.

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C$ 的中心在原点 $O$ ，焦点在 $x$ 轴上，短轴长为2，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
(I)求椭圆 $C$ 的方程;
(II) $A, B$ 为椭圆 $C$ 上满足 $△ A O B$ 的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ 的任意两点， $E$ 为线段 $A B$ 的中点，射线 $O E$ 交椭圆 $C$ 与点 $P$ ，设，求实数 $\overset{⇀}{O P} = t \overset{⇀}{O E}$ 的值.

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已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x - \ln x (a, b \in R)$ .

(Ⅰ)设 $a \geq 0$ ，求 $f (x)$ 的单调区间;
(Ⅱ) 设 $a > 0$ ，且对于任意 $x > 0$ ， $f (x) \geq f (1)$ .试比较 $\ln a$ 与 $- 2 b$ 的大小.

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设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 4 S_{2}$ , $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1$ .
(Ⅰ)求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式;
(Ⅱ)设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $\frac{b_{1}}{a_{1}} + \frac{b_{2}}{a_{2}} + \dots + \frac{b_{n}}{a_{n}} = 1 - \frac{1}{2^{n}}$ $(n \in N)$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥ A C, A B ⊥ P A, A B / / C D, A B = 2 C D,$ $E, F, G, M, N$ 分别为 $P B, A B, B C, P D, P C$ 的中点.

(Ⅰ)求证： $D E / /$ 平面 $P A D$ ;
(Ⅱ)求证：平面 $E F G$ $⊥$ 平面 $E M N$ .

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