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如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象经过点 $A (- 1, 0)$ ， $B (0, - \sqrt{3})$ ， $C (2, 0)$ ，其对称轴与 $x$ 轴交于点 $D$

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（2）若 $P$ 为 $y$ 轴上的一个动点，连接 $PD$ ，则 $\frac{1}{2} PB + PD$ 的最小值为　　；

（3） $M (x, t)$ 为抛物线对称轴上一动点

①若平面内存在点 $N$ ，使得以 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形为菱形，则这样的点 $N$ 共有　　个；

②连接 $MA$ ， $MB$ ，若 $∠ AMB$ 不小于 $60 °$ ，求 $t$ 的取值范围．

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如图，将边长为6的正方形纸片 $ABCD$ 对折，使 $AB$ 与 $DC$ 重合，折痕为 $EF$ ，展平后，再将点 $B$ 折到边 $CD$ 上，使边 $AB$ 经过点 $E$ ，折痕为 $GH$ ，点 $B$ 的对应点为 $M$ ，点 $A$ 的对应点为 $N$

（1）若 $CM = x$ ，则 $CH =$ 　　（用含 $x$ 的代数式表示）；

（2）求折痕 $GH$ 的长．

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某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数 $y$ （间）与其价格 $x$ （元） $(180 ⩽ x ⩽ 300)$ 满足一次函数关系，部分对应值如表：

$x$ （元）	180	260	280	300
$y$ （间）	100	60	50	40

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

（2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每日空置的客房需支出各种费用60元，当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大值．（宾馆当日利润 $=$ 当日房费收入 $-$ 当日支出）

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如图，为了测出旗杆 $AB$ 的高度，在旗杆前的平地上选择一点 $C$ ，测得旗杆顶部 $A$ 的仰角为 $45 °$ ，在 $C$ 、 $B$ 之间选择一点 $D (C$ 、 $D$ 、 $B$ 三点共线），测得旗杆顶部 $A$ 的仰角为 $75 °$ ，且 $CD = 8 m$

（1）求点 $D$ 到 $CA$ 的距离；

（2）求旗杆 $AB$ 的高．

（注 $:$ 结果保留根号）

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小丽购买学习用品的收据如表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题：

（1）小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？

（2）若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？

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