如图，已知抛物线与轴交于（,0）、两点，与轴交于点，其对称轴为直线．

（1）求抛物线的解析式;
（2）把线段沿轴向右平移，设平移后、的对应点分别为A′、C′，当C′落在抛物线上时，求A′、C′的坐标；
（3）除（2）中的点A′、C′外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由。