已知全集,函数的定义域为集合,函数的定义域为集合.(1)求集合和集合;(2)求集合(∁UA)∪(∁UB).
(本小题满分10分)选修:几何证明选讲如图,圆内接四边形的边与的延长线交于点,点在的延长线上.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)若,证明:.
(本小题满分12分)已知函数(其中),函数在点处的切线过点.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)若函数与函数的图像在有且只有一个交点,求实数 的取值范围.
(本小题满分12分)已知椭圆的左右焦点分别是,直线的方程是,点是椭圆上动点(不在轴上),过点作直线的垂线交直线于点,当垂直轴时,点的坐标是.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)判断点运动时,直线与椭圆的公共点个数,并证明你的结论.
(本小题满分12分)如图,已知在直三棱柱中, ,,点D是线段的中点.(Ⅰ)求证:∥平面;(Ⅱ)当三棱柱的体积最大时,求直线与平面所成角的正弦值.
(本小题满分12分)某校进行教工趣味运动会,其中一项目是投篮比赛,规则是:每位教师投二分球四次,投中三个可以再投三分球一次,投中四个可以再投三分球三次,投中球数小于3则没有机会投三分球,所有参加的老师都可以获得一个小奖品,每投中一个三分球可以再获得一个小奖品。某位教师二分球的命中率是,三分球的命中率是.(Ⅰ)求该教师恰好投中四个球的概率;(Ⅱ)记该教师获得奖品数为,求随机变量的分布列和数学期望.