已知，如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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挑错有奖

已知，如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF．

（1）求证：AB＝AC；
（2）若AC＝3cm，AD＝2cm，求DE的长．

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解不等式： $5 x - 5 < 2 (2 + x)$ ．

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计算： ${(- 2020)}^{0} + \sqrt{4} - \tan 45 ° + | - 3 |$ ．

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在篮球比赛中，东东投出的球在点 $A$ 处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点 $B$ ．

（1）求该抛物线的函数表达式．

（2）当球运动到点 $C$ 时被东东抢到， $CD ⊥ x$ 轴于点 $D$ ， $CD = 2.6 m$ ．

①求 $OD$ 的长．

②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点 $D$ 处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点 $E (4, 1.3)$ ．东东起跳后所持球离地面高度 $h_{1} (m)$ （传球前）与东东起跳后时间 $t (s)$ 满足函数关系式 $h_{1} = - 2 {(t - 0.5)}^{2} + 2.7 (0 ⩽ t ⩽ 1)$ ；小戴在点 $F (1.5, 0)$ 处拦截，他比东东晚 $0.3 s$ 垂直起跳，其拦截高度 $h_{2} (m)$ 与东东起跳后时间 $t (s)$ 的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点 $E$ ？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）．

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在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片 $ABC$ 和 $DEF$ 拼在一起，使点 $A$ 与点 $F$ 重合，点 $C$ 与点 $D$ 重合（如图 $1)$ ，其中 $∠ ACB = ∠ DFE = 90 °$ ， $BC = EF = 3 cm$ ， $AC = DF = 4 cm$ ，并进行如下研究活动．

活动一：将图1中的纸片 $DEF$ 沿 $AC$ 方向平移，连结 $AE$ ， $BD$ （如图 $2)$ ，当点 $F$ 与点 $C$ 重合时停止平移．

[思考]图2中的四边形 $ABDE$ 是平行四边形吗？请说明理由．

[发现]当纸片 $DEF$ 平移到某一位置时，小兵发现四边形 $ABDE$ 为矩形（如图 $3)$ ．求 $AF$ 的长．

活动二：在图3中，取 $AD$ 的中点 $O$ ，再将纸片 $DEF$ 绕点 $O$ 顺时针方向旋转 $α$ 度 $(0 ⩽ α ⩽ 90)$ ，连结 $OB$ ， $OE$ （如图 $4)$ ．

[探究]当 $EF$ 平分 $∠ AEO$ 时，探究 $OF$ 与 $BD$ 的数量关系，并说明理由．

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为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点 $A$ 处测得河北岸的树 $H$ 恰好在 $A$ 的正北方向．测量方案与数据如下表：

课题	测量河流宽度
测量工具	测量角度的仪器，皮尺等
测量小组	第一小组	第二小组	第三小组
测量方案示意图
说明	点 $B$ ， $C$ 在点 $A$ 的正东方向	点 $B$ ， $D$ 在点 $A$ 的正东方向	点 $B$ 在点 $A$ 的正东方向，点 $C$ 在点 $A$ 的正西方向．
测量数据	$BC = 60 m$ ， $∠ ABH = 70 °$ ， $∠ ACH = 35 °$ ．	$BD = 20 m$ ， $∠ ABH = 70 °$ ， $∠ BCD = 35 °$ ．	$BC = 101 m$ ， $∠ ABH = 70 °$ ， $∠ ACH = 35 °$ ．

（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？

（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到 $0.1 m)$ ．（参考数据： $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\sin 35 ° \approx 0.57$ ， $\tan 70 ° \approx 2.75$ ， $\tan 35 ° \approx 0.70)$

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难度：未知

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