三棱锥P—ABC中，PO⊥面ABC，垂足为O，若PA⊥BC，

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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三棱锥P—ABC中，PO⊥面ABC，垂足为O，若PA⊥BC，PC⊥AB，求证：
（1）AO⊥BC
（2）PB⊥AC

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如图，在四棱锥 $O - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 四边长为1的菱形， $∠ A B C = \frac{π}{4}$ , $O A ⊥$ 底面 $A B C D$ , $O A = 2$ , $M$ 为 $O A$ 的中点， $N$ 为 $B C$ 的中点.

（Ⅰ）证明：直线 $M N / /$ 平面 $O C D$ ；
（Ⅱ）求异面直线 $A B$ 与 $M D$ 所成角的大小；
（Ⅲ）求点 $B$ 到平面 $O C D$ 的距离.

题型：未知
难度：未知

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已知函数 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{3}) + 2 \sin (x - \frac{π}{4}) \sin (x + \frac{π}{4})$

（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ 上的值域

题型：未知
难度：未知

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设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $M (\sqrt{2}, 1)$ ，且左焦点为 $F_{1} (- \sqrt{2}, 0)$

（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）当过点 $P (4, 1)$ 的动直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交与两不同点 $A, B$ 时，在线段 $A B$ 上取点 $Q$ ，满足 $|\overset{⇀}{A P}| = |\overset{⇀}{Q B}| = |\overset{⇀}{A Q}| = |\overset{⇀}{P B}|$ ，证明：点 $Q$ 总在某定直线上.

题型：未知
难度：未知

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设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{0} = 0, a_{n + 1} = c {a_{n}}^{3} + 1 - c, c \in N^{*}$ ,其中 $c$ 为实数.
（Ⅰ）证明： $a_{n} \in [0, 1]$ 对任意 $n \in N^{*}$ 成立的充分必要条件是 $c \in [0, 1]$ .

（Ⅱ）设 $0 < c < \frac{1}{3}$ ，证明： $a_{n} \geq 1 - (3 c)^{n - 1}, n \in N^{*}$ ;
（Ⅲ）设 $0 < c < \frac{1}{3}$ ，证明： ${a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + . . . . + {a_{n}}^{2} > n + 1 - \frac{2}{1 - 3 c}, n \in N^{*}$

题型：未知
难度：未知

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设函数 $f (x) = \frac{1}{x \ln x} (x > 0 且 x \neq 1)$

（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）已知 $2^{\frac{1}{x}} > x^{2}$ 对任意 $x \in (0, 1)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围。

题型：未知
难度：未知

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