甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与,且各次投球相互之间没有影响.(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求这二次投球中恰好命中一次的概率;(2)甲、乙两人在罚球线各投球二次,求这四次投球中至少有一次命中的概率.
在平面直角坐标系 x O y 中,已知双曲线 C 1 : 2 x 2 - y 2 = 1 . (1)过 C 1 的左顶点引 C 1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积; (2)设斜率为1的直线 l 交 C 1 于 P . Q 两点,若 l 与圆 x 2 + y 2 = 1 相切,求证: O P ⊥ O Q ; (3)设椭圆 C 2 : 4 x 2 + y 2 = 1 . 若 M , N 分别是 C 1 、 C 2 上的动点,且 O M ⊥ O N ,求证: O 到直线 M N 的距离是定值.
海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里 A 处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线 y = 12 49 x 2 ;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为.
(1)当 t = 0 . 5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?
已知函数 f x = l g x + 1 . (1)若 0 < f 1 - 2 x - f x < 1 ,求 x 的取值范围; (2)若 g x 是以2为周期的偶函数,且当 0 ≤ x ≤ 1 时,有 g x = f x ,求函数 y = g x x ∈ 1 , 2 的反函数.
如图,在四棱锥 P - A B C D 中,底面 A B C D 是矩形, P A ⊥ 底面 A B C D , E 是 P C 的中点.已知 A B = 2 , A D = 2 2 , P A = 2 .求:
(1)三角形 P C D 的面积; (2)异面直线 B C 与 A E 所成的角的大小.
已知函数 f x = e x - a x ,其中 a > 0 . (1)若对一切 x ∈ R , f x ≥ 1 恒成立,求 a 的取值集合; (2)在函数 f x 的图像上去定点 A x 1 , f x 1 , B x 2 , f x 2 x 1 < x 2 ,记直线 A B 的斜率为 k ,证明:存在 x 0 ∈ x 1 , x 2 ,使 f ` x 0 = k 恒成立.