已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．
求证：AP=EF．

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（1）【操作发现】

如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， $ΔABC$ 的三个顶点均在格点上．

①请按要求画图：将 $ΔABC$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转 $90 °$ ，点 $B$ 的对应点为点 $B'$ ，点 $C$ 的对应点为点 $C'$ ．连接 $BB'$ ；

②在①中所画图形中， $∠ AB' B =$ 　　 $°$ ．

（2）【问题解决】

如图2，在 $Rt Δ ABC$ 中， $BC = 1$ ， $∠ C = 90 °$ ，延长 $CA$ 到 $D$ ，使 $CD = 1$ ，将斜边 $AB$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 到 $AE$ ，连接 $DE$ ，求 $∠ ADE$ 的度数．

（3）【拓展延伸】

如图3，在四边形 $ABCD$ 中， $AE ⊥ BC$ ，垂足为 $E$ ， $∠ BAE = ∠ ADC$ ， $BE = CE = 1$ ， $CD = 3$ ， $AD = kAB (k$ 为常数），求 $BD$ 的长（用含 $k$ 的式子表示）．

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难度：中等

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某水果店将标价为10元 $/$ 斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元 $/$ 斤，并且两次降价的百分率相同．

（1）求该水果每次降价的百分率；

（2）从第二次降价的第1天算起，第 $x$ 天 $(x$ 为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：

时间（天）	$x$
销量（斤）	$120 - x$
储藏和损耗费用（元）	$3 x^{2} - 64 x + 400$

已知该水果的进价为4.1元 $/$ 斤，设销售该水果第 $x$ （天）的利润为 $y$ （元），求 $y$ 与 $x (1 ⩽ x < 10)$ 之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？

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我们知道，顶点坐标为 $(h, k)$ 的抛物线的解析式为 $y = a {(x - h)}^{2} + k (a \neq 0)$ ．今后我们还会学到，圆心坐标为 $(a, b)$ ，半径为 $r$ 的圆的方程 ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ ，如：圆心为 $P (- 2, 1)$ ，半径为3的圆的方程为 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9$ ．

（1）以 $M (- 3, - 1)$ 为圆心， $\sqrt{3}$ 为半径的圆的方程为　　．

（2）如图，以 $B (- 3, 0)$ 为圆心的圆与 $y$ 轴相切于原点， $C$ 是 $⊙ B$ 上一点，连接 $OC$ ，作 $BD ⊥ OC$ ，垂足为 $D$ ，延长 $BD$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，已知 $\sin ∠ AOC = \frac{3}{5}$ ．

①连接 $EC$ ，证明： $EC$ 是 $⊙ B$ 的切线；

②在 $BE$ 上是否存在一点 $Q$ ，使 $QB = QC = QE = QO$ ？若存在，求点 $Q$ 的坐标，并写出以 $Q$ 为圆心，以 $QB$ 为半径的 $⊙ Q$ 的方程；若不存在，请说明理由．

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图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形．为使身高 $175 cm$ 的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置 $O$ ，花洒的最高点 $B$ 与人的头顶的铅垂距离为 $15 cm$ ，已知龙头手柄 $OA$ 长为 $10 cm$ ，花洒直径 $AB$ 是 $8 cm$ ，龙头手柄与墙面的较小夹角 $∠ COA = 26 °$ ， $∠ OAB = 146 °$ ，则安装时，旋转头的固定点 $O$ 与地面的距离应为多少？（计算结果精确到 $1 cm$ ，参考数据： $\sin 26 ° \approx 0.44$ ， $\cos 26 ° \approx 0.90$ ， $\tan 26 ° \approx 0.49)$

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如图，一次函数 $y = kx + b$ 的图象分别与反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 的图象在第一象限交于点 $A (4, 3)$ ，与 $y$ 轴的负半轴交于点 $B$ ，且 $OA = OB$ ．

（1）求函数 $y = kx + b$ 和 $y = \frac{a}{x}$ 的表达式；

（2）已知点 $C (0, 5)$ ，试在该一次函数图象上确定一点 $M$ ，使得 $MB = MC$ ，求此时点 $M$ 的坐标．

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