如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．
（1）若图1中，∠A=∠B=∠DEC=50°，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；

（2）①如图2，画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明．）
②对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．
（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，判断AE与BE的数量关系并说明理由．

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等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．

（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为　　，其内切圆的半径长为　　；

（2）①如图1， $P$ 是边长为 $a$ 的正 $ΔABC$ 内任意一点，点 $O$ 为 $ΔABC$ 的中心，设点 $P$ 到 $ΔABC$ 各边距离分别为 $h_{1}$ ， $h_{2}$ ， $h_{3}$ ，连接 $AP$ ， $BP$ ， $CP$ ，由等面积法，易知 $\frac{1}{2} a (h_{1} + h_{2} + h_{3}) = S_{ΔABC} = 3 S_{ΔOAB}$ ，可得 $h_{1} + h_{2} + h_{3} =$ 　　；（结果用含 $a$ 的式子表示）

②如图2， $P$ 是边长为 $a$ 的正五边形 $ABCDE$ 内任意一点，设点 $P$ 到五边形 $ABCDE$ 各边距离分别为 $h_{1}$ ， $h_{2}$ ， $h_{3}$ ， $h_{4}$ ， $h_{5}$ ，参照①的探索过程，试用含 $a$ 的式子表示 $h_{1} + h_{2} + h_{3} + h_{4} + h_{5}$ 的值．（参考数据： $\tan 36 ° \approx \frac{8}{11}$ ， $\tan 54 ° \approx \frac{11}{8})$

（3）①如图3，已知 $⊙ O$ 的半径为2，点 $A$ 为 $⊙ O$ 外一点， $OA = 4$ ， $AB$ 切 $⊙ O$ 于点 $B$ ，弦 $BC / / OA$ ，连接 $AC$ ，则图中阴影部分的面积为　　；（结果保留 $π)$

②如图4，现有六边形花坛 $ABCDEF$ ，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形 $ABCDG$ ，其中点 $G$ 在 $AF$ 的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点 $G$ 的位置，并说明理由.

题型：未知
难度：未知

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如今我国的大棚（如图 $1)$ 种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体 $A$ 处，另一端固定在离地面高2米的墙体 $B$ 处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度 $y$ （米 $)$ 与其离墙体 $A$ 的水平距离 $x$ （米 $)$ 之间的关系满足 $y = - \frac{1}{6} x^{2} + bx + c$ ，现测得 $A$ ， $B$ 两墙体之间的水平距离为6米．

（1）直接写出 $b$ ， $c$ 的值；

（2）求大棚的最高处到地面的距离；

（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为 $\frac{37}{24}$ 米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？

题型：未知
难度：未知

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如图， $D$ 是以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上一点，过点 $D$ 的切线 $DE$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$ ，过点 $B$ 作 $BC ⊥ DE$ 交 $AD$ 的延长线于点 $C$ ，垂足为点 $F$ ．

（1）求证： $AB = BC$ ；

（2）若 $⊙ O$ 的直径 $AB$ 为9， $\sin A = \frac{1}{3}$ ．

①求线段 $BF$ 的长；

②求线段 $BE$ 的长．

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如图，一次函数 $y_{1} = kx + b$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (m > 0)$ 的图象交于点 $C (1, 2)$ ， $D (2, n)$ ．

（1）分别求出两个函数的解析式；

（2）连接 $OD$ ，求 $ΔBOD$ 的面积．

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疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表：

	已接种	未接种	合计
七年级	30	10	40
八年级	35	15	$a$
九年级	40	$b$	60
合计	105	$c$	150

（1）表中， $a =$ 　　， $b =$ 　　， $c =$ 　　；

（2）由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是　　年级教师；（填“七”或“八”或“九” $)$

（3）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师约有　　人；

（4）为更好地响应号召，立德中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年级2名）中随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名教师恰好不在同一年级的概率．

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