如图，将□ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落到AB边上的点

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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如图，将□ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落到AB边上的点处，折痕交CD边于点E，连接BE

（1）求证：四边形是平行四边形
（2）若BE平分∠ABC，求证：

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某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：

如图1，在 $ΔABC$ 和 $ΔADE$ 中， $∠ ACB = ∠ AED = 90 °$ ， $∠ CAB = ∠ EAD = 60 °$ ，点 $E$ ， $A$ ， $C$ 在同一条直线上，连接 $BD$ ，点 $F$ 是 $BD$ 的中点，连接 $EF$ ， $CF$ ，试判断 $ΔCEF$ 的形状并说明理由．

问题探究：

（1）小婷同学提出解题思路：先探究 $ΔCEF$ 的两条边是否相等，如 $EF = CF$ ，以下是她的证明过程

证明：延长线段 $EF$ 交 $CB$ 的延长线于点 $G$ ．

$∵ F$ 是 $BD$ 的中点，

$∴ BF = DF$ ．

$∵ ∠ ACB = ∠ AED = 90 °$ ，

$∴ ED / / CG$ ．

$∴ ∠ BGF = ∠ DEF$ ．

又 $∵ ∠ BFG = ∠ DFE$ ，

$∴ ΔBGF ≅ ΔDEF ($ 　 $AAS$ 　 $)$ ．

$∴ EF = FG$ ．

$∴ CF = EF = \frac{1}{2} EG$ ．

请根据以上证明过程，解答下列两个问题：

①在图1中作出证明中所描述的辅助线；

②在证明的括号中填写理由（请在 $SAS$ ， $ASA$ ， $AAS$ ， $SSS$ 中选择）．

（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出 $∠ CEF$ 的度数，并判断 $ΔCEF$ 的形状．

问题拓展：

（3）如图2，当 $ΔADE$ 绕点 $A$ 逆时针旋转某个角度时，连接 $CE$ ，延长 $DE$ 交 $BC$ 的延长线于点 $P$ ，其他条件不变，判断 $ΔCEF$ 的形状并给出证明．

题型：未知
难度：未知

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如图1， $▱ OABC$ 的边 $OC$ 在 $y$ 轴的正半轴上， $OC = 3$ ， $A (2, 1)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过的 $B$ ．

（1）求点 $B$ 的坐标和反比例函数的关系式；

（2）如图2，直线 $MN$ 分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴交于 $M$ ， $N$ 两点，若点 $O$ 和点 $B$ 关于直线 $MN$ 成轴对称，求线段 $ON$ 的长；

（3）如图3，将线段 $OA$ 延长交 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点 $D$ ，过 $B$ ， $D$ 的直线分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $E$ ， $F$ 两点，请探究线段 $ED$ 与 $BF$ 的数量关系，并说明理由．

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本数（本 $)$	频数（人数）	频率
5	$a$	0.2
6	18	0.36
7	14	$b$
8	8	0.16
合计	$c$	1

（1）统计表中的 $a =$ 　， $b =$ 　　， $c =$ 　　；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；

（4）若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数．

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