如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别

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更新 2022-09-03
科目数学
题型计算题
难度较易
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如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．

（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长．

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某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；

维修次数	8	9	10	11	12
频数（台数）	10	20	30	30	10

（1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；

（2）试以这100台机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？

题型：未知
难度：未知

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某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为 $m$ 吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．

（1）求该车间的日废水处理量 $m$ ；

（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元 $/$ 吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．

题型：未知
难度：未知

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先化简，再求值： $(x - 1) \div (x - \frac{2 x - 1}{x})$ ，其中 $x = \sqrt{2} + 1$ ．

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解方程组 $\{\begin{matrix} x - y = 5 \\ 2 x + y = 4 \end{matrix}$ ．

题型：未知
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已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 过点 $A (0, 2)$ ，且抛物线上任意不同两点 $M (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $N (x_{2}$ ， $y_{2})$ 都满足：当 $x_{1} < x_{2} < 0$ 时， $(x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) > 0$ ；当 $0 < x_{1} < x_{2}$ 时， $(x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) < 0$ ．以原点 $O$ 为圆心， $OA$ 为半径的圆与抛物线的另两个交点为 $B$ ， $C$ ，且 $B$ 在 $C$ 的左侧， $ΔABC$ 有一个内角为 $60 °$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若 $MN$ 与直线 $y = - 2 \sqrt{3} x$ 平行，且 $M$ ， $N$ 位于直线 $BC$ 的两侧， $y_{1} > y_{2}$ ，解决以下问题：

①求证： $BC$ 平分 $∠ MBN$ ；

②求 $ΔMBC$ 外心的纵坐标的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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