学校举行数学知识竞赛，设立了一、二、三等奖，计划共购买45件

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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学校举行数学知识竞赛，设立了一、二、三等奖，计划共购买45件奖品，其中二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少5件，已知购买一等奖奖品x件．各种奖品的单价如下表．

奖品	一等奖奖品	二等奖奖品	三等奖奖品
单价（元）	12	10	8

（1）学校购买二等奖奖品件，三等奖奖品件；（用含x的代数式表示）
（2）若购买三等奖奖品的费用不超过二等奖奖品费用的2倍，学校为节省开支，应如何购买这三种奖品？总费用最少是多少元？

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$[$ 探究 $1]$ 如图1，当 $α = 90 °$ 时，点 $C'$ 恰好在 $DB$ 延长线上．若 $AB = 1$ ，求 $BC$ 的长．

$[$ 探究 $2]$ 如图2，连结 $AC'$ ，过点 $D'$ 作 $D' M / / AC'$ 交 $BD$ 于点 $M$ ．线段 $D' M$ 与 $DM$ 相等吗？请说明理由．

$[$ 探究 $3]$ 在探究2的条件下，射线 $DB$ 分别交 $AD'$ ， $AC'$ 于点 $P$ ， $N$ （如图 $3)$ ，发现线段 $DN$ ， $MN$ ， $PN$ 存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

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（参考数据： $\sin 36 ° \approx 0.59$ ， $\cos 36 ° \approx 0.81$ ， $\tan 36 ° \approx 0.73$ ， $\sin 72 ° \approx 0.95$ ， $\cos 72 ° \approx 0.31$ ， $\tan 72 ° \approx 3.08)$

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青少年视力健康标准

类别	视力	健康状况
$A$	视力 $⩾ 5.0$	视力正常
$B$	4.9	轻度视力不良
$C$	$4.6 ⩽$ 视力 $⩽ 4.8$	中度视力不良
$D$	视力 $⩽ 4.5$	重度视力不良

根据以上信息，请解答：

（1）分别求出被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良（类别 $B)$ 的扇形圆心角度数和2020年初视力正常（类别 $A)$ 的人数．

（2）若2021年初该市有八年级学生2万人，请估计这些学生2021年初视力正常的人数比2020年初增加了多少人？

（3）国家卫健委要求，全国初中生视力不良率控制在 $69 %$ 以内．请估计该市八年级学生2021年初视力不良率是否符合要求？并说明理由．

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（1） $y$ 是关于 $x$ 的函数吗？为什么？

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