（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，PA为

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和圆O分别交于点D和E．

（1）求证：；
（2）求AD·AE的值．

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如图，测量河对岸的塔高 $A B$ 时，可以选与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测点 $C$ 与 $D$ . 现测得 $∠ B C D = α$ ， $∠ B C D = β$ ， $C D = s$ ，并在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $θ$ ，求塔高 $A B$ .

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已知函数 $f (x) = x_{2} + x - 1$ ， $α$ 、 $β$ 是方程 $f (x) = 0$ 的两个根( $α > β$ )， $f ` (x)$ 是 $f (x)$ 的导数，设 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} - \frac{f (a_{n})}{f ` (a_{n})} (n = 1, 2, . . .)$ （n=1，2，…），

(Ⅰ)求 $α$ 、 $β$ 的值；

(Ⅱ)已知对任意的正整数 $n$ 有 $a_{n} ＞ α$ ，记 $b_{n} = \ln \frac{a_{n} - β}{a_{n} - α} (n = 1, 2, . . .)$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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已知 $a$ 是实数，函数 $f (x) = 2 a x^{2} + 2 x - 3 - a$ ，如果函数 $y = f (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上有零点，求实数 $a$ 的取值范围。

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如图所示，等腰三角形 $△ A B C$ 的底边 $A B = 6 \sqrt{6}$ ，高 $C D = 3$ .点 $E$ 是线段 $B D$ 上异于 $B, D$ 的动点.点 $F$ 在 $B C$ 边上，且 $E F ⊥ A B$ .现沿 $E F$ 将 $△ B E F$ 折起到 $△ P E F$ 的位置，使 $P E ⊥ A E$ .
记 $B E = x, V (x)$ 表示四棱锥 $P - A C F E$ 的体积。
（1）求 $V (x)$ 的表达式；
（2）当 $x$ 为何值时， $V (x)$ 取得最大值？
（3）当 $V (x)$ 取得最大值时，求异面直线 $A C$ 与 $P F$ 所成角的余弦值。

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在直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆心在第二象限、半径为 $2 \sqrt{2}$ 的圆 $C$ 与直线 $y = x$ 相切于坐标原点 $O$ .椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与圆 $C$ 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
（1）求圆 $C$ 的方程；
（2）试探究圆 $C$ 上是否存在异于原点的点 $Q$ ，使 $Q$ 到椭圆的右焦点 $F$ 的距离等于线段 $O F$ 的长，若存在求出 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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