(本题10分)如图,,⊙是Rt△的内切圆,分别切于点,连接.的延长线交于点,.(1)求证:四边形为正方形;(2)求⊙的半径; (3)求的长.
某学校九年级有12个班,每班50名学生,为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间,准备从12个班里抽取50名学生作为一个样本进行分析,并规定如下:设每个学生平均每天的睡眠时间为 t (单位,小时),将收集到的学生平均每天睡眠时间按 t ⩽ 6 、 6 < t < 8 、 t ⩾ 8 分为三类进行分析.
(1)下列抽取方法具有代表性的是 .
A .随机抽取一个班的学生
B .从12个班中,随机抽取50名学生
C .随机抽取50名男生
D .随机抽取50名女生
(2)由上述具有代表性的抽取方法抽取50名学生,平均每天的睡眠时间数据如表:
睡眠时间 t (小时)
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
人数(人 )
1
2
10
15
9
①这组数据的众数和中位数分别是 , ;
②估计九年级学生平均每天睡眼时间 t ⩾ 8 的人数大约为多少;
(3)从样本中学生平均每天眠时间 t ⩽ 6 的4个学生里,随机抽取2人,画树状图或列表,求抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的概率.
如图,在 Rt Δ ABC 中, ∠ ACB = 90 ° ,点 D 是斜边 AB 上一点,且 AC = AD .
(1)作 ∠ BAC 的平分线,交 BC 于点 E ;(要求尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,连接 DE ,求证: DE ⊥ AB .
先化简,再求值: m − 3 m − 2 ÷ ( m + 2 − 5 m − 2 ) ,其中 m = ( 1 3 ) − 1 + ( 2 − π ) 0 + 8 − | − 7 | .
如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y = 3 x 2 + bx + c 过点 A ( 0 , − 2 ) , B ( 2 , 0 ) ,点 C 为第二象限抛物线上一点,连接 AB , AC , BC ,其中 AC 与 x 轴交于点 E ,且 tan ∠ OBC = 2 .
(1)求点 C 坐标;
(2)点 P ( m , 0 ) 为线段 BE 上一动点 ( P 不与 B , E 重合),过点 P 作平行于 y 轴的直线 l 与 ΔABC 的边分别交于 M , N 两点,将 ΔBMN 沿直线 MN 翻折得到△ B ' MN ,设四边形 B ' NBM 的面积为 S ,在点 P 移动过程中,求 S 与 m 的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,若 S = 3 S ΔACB ' ,请写出所有满足条件的 m 值.
如图, ΔABC 和 ΔDEF 都是等腰直角三角形, AB = AC , ∠ BAC = 90 ° , DE = DF , ∠ EDF = 90 ° , D 为 BC 边中点,连接 AF ,且 A 、 F 、 E 三点恰好在一条直线上, EF 交 BC 于点 H ,连接 BF , CE .
(1)求证: AF = CE ;
(2)猜想 CE , BF , BC 之间的数量关系,并证明;
(3)若 CH = 2 , AH = 4 ,请写出线段 AC , AE 的长.