如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2y2b21(

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度困难
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如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且右焦点 $F$ 到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过 $F$ 的直线与椭圆交于 $A, B$ 两点，线段 $A B$ 的垂直平分线分别交直线 $l$ 和 $A B$ 于点 $P, C$ ，若 $P C = 2 A B$ ，求直线 $A B$ 的方程.

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设 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + m x + n x$ .
（1）如果 $g (x) = f^{`} (x) - 2 x - 3$ 在 $x = - 2$ 处取得最小值 $- 5$ ，求 $f (x)$ 的解析式；
（2）如果 $m + n < 10 (m, n \in N_{+})$ ， $F (x)$ 的单调递减区间的长度是正整数，试求 $m$ 和 $n$ 的值．(注：区间 $(a, b)$ 的长度为 $b - a$ ）

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（1）求此人被评为优秀的概率；
（2）求此人被评为良好及以上的概率．

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