如图,椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 )的左右焦点分别为 F 1 , F 2 ,且过 F 2 的直线交椭圆于 P , Q 两点,且 P Q ⊥ P F 1 .
(Ⅰ)若 P F 1 = 2 + 2 , P F 2 = 2 - 2 |,求椭圆的标准方程. (Ⅱ)若 P Q = λ P F 1 ,且 3 4 ≤ λ ≤ 4 3 ,试确定椭圆离心率的取值范围.
化简:(其中为第三象限角).
已知,,求的值.
设函数 (Ⅰ)当时,求的最大值; (Ⅱ)令,(),其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立,求实数的取值范围; (Ⅲ)当,,方程有唯一实数解,求正数的值.
已知椭圆的离心率为,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切。 (Ⅰ)求椭圆C1的方程; (Ⅱ)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1,且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直于l1,垂足为点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程; (Ⅲ)设C2与x轴交于点Q,不同的两点R、S在C2上,且 满足,求的取值范围。
如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE//CF,BCF=CEF=,AD=,EF=2. (Ⅰ)求证:AE//平面DCF; (Ⅱ)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为.