如图，椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，过点 $P(0,1)$的动直线 $l$与椭圆相交于 $A,B$两点，当直线 $l$平行与 $x$轴时，直线 $l$被椭圆 $E$截得的线段长为 $2\sqrt{2}$.

（1）求椭圆 $E$的方程；
（2）在平面直角坐标系 $xOy$中，是否存在与点 $P$不同的定点 $Q$，使得 $\frac{\left|QA\right|}{\left|QB\right|}=\frac{\left|PA\right|}{\left|PB\right|}$恒成立？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由.