某公司从大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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某公司从大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．
（1）如果用分层抽样的方法从甲部门人选和乙部门人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是甲部门人选的概率是多少？
（2）若从所有甲部门人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任助理工作的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．

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已知： $ν = \frac{q}{x}$ ， $x \in (0, 80]$ ，且 $ν = \{\begin{matrix} 100 -135 (\frac{1}{3})^{\frac{80}{x}}, x \in (0, 40) \\ - k (x - 40) + 85, x \in [40, 80] \end{matrix} (k > 0)$ ，

（1）若v>95，求x的取值范围；

（2）已知x=80时，v=50，求x为多少时，q可以取得最大值，并求出该最大值。

题型：未知
难度：未知

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已知 $f (x) =sin ωx (ω > 0)$ .

（1）若f(x)的周期是4π，求 $ω$ ，并求此时 $f (x) = \frac{1}{2}$ 的解集；

（2）已知 $ω = 1$ ， $g (x) = f^{2} (x) + \sqrt{3} f (- x) f (\frac{π}{2} - x)$ ， $x \in [0, \frac{π}{4}]$ ，求g(x)的值域.

题型：未知
难度：未知

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已知边长为1的正方形ABCD，沿BC旋转一周得到圆柱体。

（1）求圆柱体的表面积；

（2）正方形ABCD绕BC逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ 到 $A_{1} BC D_{1}$ ，求 $A D_{1}$ 与平面ABCD所成的角。

题型：未知
难度：未知

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已知数集 $A = {a_{1}, a_{2}, \dots a_{n}} (1 \leq a_{1} < a_{2} < \dots a_{n}, n \geq 2)$ 具有性质 $P$ ；对任意的 $i, j (1 \leq i \leq j \leq n)$ ， $a_{i} a_{j}$ 与 $\frac{a_{j}}{a_{i}}$ 两数中至少有一个属于 $A$ 。

（Ⅰ）分别判断数集 ${1, 3, 4}$ 与 ${1, 2, 3, 6}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；

（Ⅱ）证明： $a_{1} = 1$ ，且 $\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{a_{1}^{- 1} + a_{2}^{- 1} + \dots + a_{n}^{- 1}} = a_{n};$

（Ⅲ）证明：当 $n = 5$ 时， $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}$ 成等比数列。

题型：未知
难度：未知

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已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，右准线方程为 $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

（Ⅰ）求双曲线 $C$ 的方程；

（Ⅱ）设直线 $l$ 是圆 $O : x^{2} + y^{2} = 2$ 上动点 $P (x_{0}, y_{0}) (x_{0} y_{0} \neq 0)$ 处的切线， $l$ 与双曲线 $C$ 交于不同的两点 $A, B$ ，证明 $∠ AOB$ 的大小为定值。

题型：未知
难度：未知

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