已知函数$f\left(x\right)=10\sqrt{3}\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+10{\cos }^2\frac{x}{2}$.

（Ⅰ）求函数$f\left(x\right)$的最小正周期；
（Ⅱ）将函数$f\left(x\right)$的图象向右平移$\frac{\pi }{6}$个单位长度，再向下平移$a(a<0)$个单位长度后得到函数$g\left(x\right)$的图象，且函数$g\left(x\right)$的最大值为2．
（ⅰ）求函数$g\left(x\right)$的解析式；
（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数$x_0$，使得$g\left(x_0\right)>0$.