如图，AB为⊙O的直径，以AB为直角边作Rt△ABC，∠CA

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，AB为⊙O的直径，以AB为直角边作Rt△ABC，∠CAB=90°，斜边BC与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥AB于点F，交⊙O于点G．

(1)求证：E是AC的中点；(2)若AE=3，cos∠ACB=，求弦DG的长．

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正方形 $ABCD$ 的边长为1，点 $O$ 是 $BC$ 边上的一个动点（与 $B$ ， $C$ 不重合），以 $O$ 为顶点在 $BC$ 所在直线的上方作 $∠ MON = 90 °$ ．

（1）当 $OM$ 经过点 $A$ 时，

①请直接填空： $ON$ 　　（可能，不可能）过 $D$ 点；（图1仅供分析）

②如图2，在 $ON$ 上截取 $OE = OA$ ，过 $E$ 点作 $EF$ 垂直于直线 $BC$ ，垂足为点 $F$ ，作 $EH ⊥ CD$ 于 $H$ ，求证：四边形 $EFCH$ 为正方形．

（2）当 $OM$ 不过点 $A$ 时，设 $OM$ 交边 $AB$ 于 $G$ ，且 $OG = 1$ ．在 $ON$ 上存在点 $P$ ，过 $P$ 点作 $PK$ 垂直于直线 $BC$ ，垂足为点 $K$ ，使得 $S_{ΔPKO} = 4 S_{ΔOBG}$ ，连接 $GP$ ，求四边形 $PKBG$ 的最大面积．

题型：未知
难度：未知

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今年四月份，某校在孝感市争创“全国文明城市”活动中，组织全体学生参加了“弘扬孝德文化，争做文明学生”的知识竞赛，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分成 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 六个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图表．

等级	得分 $x$ （分 $)$	频数（人 $)$
$A$	$95 ⩽ x ⩽ 100$	4
$B$	$90 ⩽ x < 95$	$m$
$C$	$85 ⩽ x < 90$	$n$
$D$	$80 ⩽ x < 85$	24
$E$	$75 ⩽ x < 80$	8
$F$	$70 ⩽ x < 75$	4

请根据图表提供的信息，解答下列问题：

（1）本次抽样调查样本容量为　　，表中： $m =$ 　　， $n =$ 　　；扇形统计图中， $E$ 等级对应扇形的圆心角 $α$ 等于　　度；

（2）该校决定从本次抽取的 $A$ 等级学生（记为甲、乙、丙、丁）中，随机选择2名成为学校文明宣讲志愿者，请你用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲和乙的概率．

题型：未知
难度：未知

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中华文化，源远流长，在文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”，某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：