如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E,AC⊥PQ于C，交⊙

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E,AC⊥PQ于C，交⊙O于D.

（1）求证：AE平分∠BAC;
（2）若AD=2，EC=,∠BAC=60⁰,求⊙O的半径.

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计算： ${(2021 - π)}^{0} - | \sqrt{3} - 2 | - \tan 60 °$ ．

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如图，在直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + bx + c$ 的图象与 $x$ 轴相交于点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求 $b$ 、 $c$ 的值；

（2）点 $P (m, n)$ 为抛物线上的动点，过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $l : y = x$ 于点 $Q$ ．

①当 $0 < m < 3$ 时，求当 $P$ 点到直线 $l : y = x$ 的距离最大时 $m$ 的值；

②是否存在 $m$ ，使得以点 $O$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出 $m$ 的值．

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如图①， $E$ 、 $F$ 是等腰 $Rt Δ ABC$ 的斜边 $BC$ 上的两动点， $∠ EAF = 45 °$ ， $CD ⊥ BC$ 且 $CD = BE$ ．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔACD$ ；

（2）求证： $E F^{2} = B E^{2} + C F^{2}$ ；

（3）如图②，作 $AH ⊥ BC$ ，垂足为 $H$ ，设 $∠ EAH = α$ ， $∠ FAH = β$ ，不妨设 $AB = \sqrt{2}$ ，请利用（2）的结论证明：当 $α + β = 45 °$ 时， $\tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \cdot \tan β}$ 成立．

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如图，点 $A$ 在以 $BC$ 为直径的 $⊙ O$ 上， $∠ ABC$ 的角平分线与 $AC$ 相交于点 $E$ ，与 $⊙ O$ 相交于点 $D$ ，延长 $CA$ 至 $M$ ，连结 $BM$ ，使得 $MB = ME$ ，过点 $A$ 作 $BM$ 的平行线与 $CD$ 的延长线交于点 $N$ ．

（1）求证： $BM$ 与 $⊙ O$ 相切；

（2）试给出 $AC$ 、 $AD$ 、 $CN$ 之间的数量关系，并予以证明．

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为了庆祝中国共产党建党一百周年，某校举行“礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元．

（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；

（2）若要购买这两种纪念品共100个，投入资金不少于766元又不多于800元，问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值．

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